在高一数学的学习中，三角函数是一个非常重要的章节，尤其是“两角差的余弦公式”更是学习三角恒等变换的基础。今天我们就来探讨一个典型的题目：“设 cos x + cos y = 1/2，sin x + sin y = ?”，并结合两角差的余弦公式进行分析。
一、两角差的余弦公式回顾
两角差的余弦公式是：
$$
\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y
$$
这个公式在解决三角函数的和、差、积等问题时非常有用，尤其是在处理两个角度之间的关系时。
二、题目解析
题目给出的是：
$$
\cos x + \cos y = \frac{1}{2}
$$
$$
\sin x + \sin y = ?
$$
我们的问题是要根据已知条件求出 $\sin x + \sin y$ 的值。
三、解题思路
我们可以考虑将 $\cos x + \cos y$ 和 $\sin x + \sin y$ 进行平方，然后相加，利用三角恒等式进行转化。
第一步：平方两个表达式
$$
(\cos x + \cos y)^2 = \cos^2 x + 2\cos x \cos y + \cos^2 y
$$
$$
(\sin x + \sin y)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \sin y + \sin^2 y
$$
将两者相加：
$$
(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x + \sin y)^2 = (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y)
$$
由于 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$，$\cos^2 y + \sin^2 y = 1$，所以上式变为：
$$
1 + 1 + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = 2 + 2\cos(x - y)
$$
又因为 $\cos x + \cos y = \frac{1}{2}$，所以：
$$
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (\sin x + \sin y)^2 = 2 + 2\cos(x - y)
$$
即：
$$
\frac{1}{4} + (\sin x + \sin y)^2 = 2 + 2\cos(x - y)
$$
移项得：
$$
(\sin x + \sin y)^2 = 2 + 2\cos(x - y) - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + 2\cos(x - y)
$$
此时，如果我们能知道 $\cos(x - y)$ 的值，就可以进一步计算 $\sin x + \sin y$。
四、进一步推导（假设）
若题目中没有给出 $\cos(x - y)$，我们可以尝试通过其他方式构造它。
例如，可以设：
$$
A = \cos x + \cos y = \frac{1}{2}
$$
$$
B = \sin x + \sin y
$$
那么我们可以令：
$$
x = a + b, \quad y = a - b
$$
这样，就有：
$$
\cos x + \cos y = 2\cos a \cos b = \frac{1}{2}
$$
$$
\sin x + \sin y = 2\sin a \cos b = B
$$
由第一个式子可得：
$$
\cos a \cos b = \frac{1}{4}
$$
代入第二个式子：
$$
2\sin a \cos b = B \Rightarrow \sin a = \frac{B}{2\cos b}
$$
再结合 $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$，可得：
$$
\left( \frac{B}{2\cos b} \right)^2 + \left( \frac{1}{4\cos b} \right)^2 = 1
$$
化简后可解出 $B$ 的可能值。
五、总结
本题的关键在于利用三角恒等式对给定条件进行变形，并结合两角差的余弦公式进行分析。通过平方和的方式，能够有效简化问题，从而找到未知量的表达式。
对于高一学生来说，这类题目有助于理解三角函数的和差公式及其应用，同时锻炼逻辑推理能力和代数运算能力。
如需进一步练习，可以尝试类似题目，如已知 $\cos x - \cos y$ 或 $\sin x - \sin y$ 的值，求 $\cos(x + y)$ 等，以此加深对三角恒等式的掌握。
