【tan的全部公式】在三角函数中，tan（正切）是一个非常重要的函数，广泛应用于数学、物理和工程等领域。为了帮助学习者更好地掌握tan的相关公式，本文将对tan的所有主要公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本定义
正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值，即：
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
在单位圆中，$\tan\theta$ 表示终边与x轴夹角的正切值。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正切定义 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 正切等于正弦除以余弦 |
| 倒数关系 | $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ | 正切与余切互为倒数 |
| 同角关系 | $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ | 与正割的关系 |
| 和角公式 | $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$ | 两角和的正切公式 |
| 差角公式 | $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ | 两角差的正切公式 |
| 倍角公式 | $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 两倍角的正切公式 |
| 半角公式 | $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 半角的正切公式 |
| 诱导公式 | $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ $\tan(\pi + \theta) = \tan\theta$ $\tan(2\pi - \theta) = -\tan\theta$ | 不同象限中的正切符号变化 |
| 反函数 | $y = \tan^{-1}(x)$ | 正切的反函数，定义域为 $(-\infty, +\infty)$，值域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ |
三、特殊角度的tan值
| 角度（弧度） | 角度（度） | $\tan\theta$ 值 |
| 0 | 0° | 0 |
| $\frac{\pi}{6}$ | 30° | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | 45° | 1 |
| $\frac{\pi}{3}$ | 60° | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | 90° | 未定义 |
四、注意事项
- 当$\cos\theta = 0$时，$\tan\theta$无定义。
- 在实际应用中，需注意角度的单位（弧度或角度）以及象限对正切值的影响。
- 正切函数是周期函数，周期为$\pi$，即$\tan(\theta + k\pi) = \tan\theta$（k为整数）。
通过以上内容，我们可以全面了解正切函数的各个公式及其应用场景。掌握这些公式有助于提高解题效率，特别是在解决三角函数相关的数学问题时。
