【材料力学公式】材料力学是研究构件在外力作用下产生变形和破坏规律的科学，广泛应用于工程结构设计与分析中。掌握关键的材料力学公式对于理解材料行为、进行结构计算和优化设计具有重要意义。以下是对常用材料力学公式的总结，并以表格形式呈现。
一、基本概念与公式
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $\sigma = \frac{F}{A}$ | 正应力公式 | $F$为作用力，$A$为受力面积 |
| $\tau = \frac{V}{A}$ | 剪应力公式 | $V$为剪切力，$A$为剪切面积 |
| $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$ | 线应变 | $\Delta L$为长度变化，$L_0$为原始长度 |
| $\gamma = \frac{\Delta x}{h}$ | 切应变 | $\Delta x$为横向位移，$h$为高度 |
| $\sigma = E\varepsilon$ | 胡克定律 | $E$为弹性模量 |
| $\tau = G\gamma$ | 剪切胡克定律 | $G$为剪切模量 |
二、轴向拉压变形
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $\delta = \frac{FL}{EA}$ | 轴向变形 | $F$为轴力，$L$为杆长，$E$为弹性模量，$A$为截面面积 |
| $\delta = \sum \frac{F_i L_i}{E A_i}$ | 多段杆件变形 | 分段计算后叠加 |
| $\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$ | 应变与应力关系 | 适用于线弹性范围 |
三、扭转公式
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $T = GJ\theta$ | 扭矩与扭转角关系 | $T$为扭矩，$J$为极惯性矩，$\theta$为单位长度扭转角 |
| $\tau = \frac{T r}{J}$ | 扭转切应力 | $r$为半径 |
| $\theta = \frac{T L}{G J}$ | 扭转角 | $L$为杆长 |
四、弯曲内力与应力
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $M = F \cdot d$ | 弯矩 | $F$为力，$d$为力臂 |
| $\sigma = \frac{M y}{I}$ | 弯曲正应力 | $y$为中性轴到点的距离，$I$为截面惯性矩 |
| $\tau = \frac{V Q}{I b}$ | 剪切应力 | $Q$为截面静矩，$b$为宽度 |
| $\frac{M}{EI} = \frac{d^2 y}{dx^2}$ | 挠曲线微分方程 | $y$为挠度 |
五、组合变形与强度理论
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $\sigma_{max} = \sqrt{\left( \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}$ | 第三强度理论（最大剪应力） | 用于判断塑性材料失效 |
| $\sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}$ | 第四强度理论（形状改变能） | 用于判断脆性材料失效 |
| $\frac{\sigma_{max}}{\sigma_{yield}} \leq n$ | 安全系数 | $n$为安全系数，$\sigma_{yield}$为屈服极限 |
六、稳定性与临界载荷
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2}$ | 欧拉临界压力 | $K$为长度系数，$L$为杆长 |
| $\lambda = \frac{KL}{r}$ | 长细比 | $r$为回转半径 |
| $\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$ | 临界应力 | 适用于细长杆 |
结语
材料力学公式是分析结构性能、评估构件承载能力的重要工具。在实际工程中，需结合具体工况选择合适的公式并进行合理计算。同时，应注意公式的适用范围，避免超出线弹性或小变形假设的条件。掌握这些基础公式，有助于提高结构设计的准确性和安全性。
