【等比数列求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和是数列应用中的常见问题，掌握其求和公式对于解决实际问题具有重要意义。
等比数列的一般形式为：
a, ar, ar², ar³, ..., arⁿ⁻¹
其中，a 为首项，r 为公比，n 为项数。
根据不同的情况，等比数列的求和公式也有所不同。以下是常见的几种情况及其对应的求和公式：
| 情况 | 公式 | 说明 | ||
| 有限项求和（n 项） | Sₙ = a(1 - rⁿ) / (1 - r)（当 r ≠ 1） | 当公比不等于1时使用 | ||
| 无限项求和（ | r | < 1） | S = a / (1 - r) | 当公比绝对值小于1时，无限项和收敛 |
| 公比 r = 1 | Sₙ = a × n | 所有项都相等，直接乘以项数 |
应用示例
假设有一个等比数列，首项 a = 2，公比 r = 3，求前5项的和。
根据公式：
S₅ = 2 × (1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2 × (1 - 243) / (-2) = 2 × (-242) / (-2) = 242
因此，前5项的和为242。
如果公比 r = 0.5，且首项 a = 4，求无限项的和：
S = 4 / (1 - 0.5) = 4 / 0.5 = 8
这表明，当公比小于1时，无限项的和可以收敛到一个有限值。
注意事项
- 当公比 r = 1 时，所有项都相同，此时求和公式变为 Sₙ = a × n。
- 如果公比 r ≥ 1 或 r ≤ -1，则无限项的和会发散，无法计算。
- 在实际应用中，应根据具体数值判断使用哪种公式。
通过理解并掌握等比数列的求和公式，能够更高效地解决相关的数学问题，同时也为后续学习等差数列、级数等内容打下坚实基础。
