【分层抽样的公式怎么计】在统计学中，分层抽样是一种将总体划分为不同“层”（或子群）后，从每一层中独立抽取样本的方法。这种方法可以提高样本的代表性，减少抽样误差。以下是分层抽样的主要计算公式和相关说明。
一、分层抽样的基本概念
- 总体（Population）：研究对象的全部个体。
- 层（Stratum）：根据某种特征（如年龄、性别、地区等）将总体划分成若干个互不重叠的子群。
- 样本（Sample）：从各层中抽取的部分个体。
二、分层抽样的常用公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 样本量分配公式（比例分配） | $ n_h = n \times \frac{N_h}{N} $ | 其中 $ n $ 是总样本量，$ N_h $ 是第 $ h $ 层的大小，$ N $ 是总体大小。按比例分配样本量到各层。 |
| 样本量分配公式（最优分配） | $ n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum_{h=1}^L N_h S_h} $ | 其中 $ S_h $ 是第 $ h $ 层的标准差，适用于各层变异程度不同的情况。 |
| 总体均值估计公式 | $ \bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^L \frac{N_h}{N} \bar{y}_h $ | 用各层样本均值加权平均，得到总体均值的估计值。 |
| 总体总值估计公式 | $ \hat{Y}_{st} = \sum_{h=1}^L N_h \bar{y}_h $ | 用各层样本均值乘以该层的总数，估算总体总量。 |
| 方差估计公式（比例分配） | $ V(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L \left( \frac{N_h}{N} \right)^2 \left( \frac{N_h - n_h}{N_h} \right) \frac{S_h^2}{n_h} $ | 用于估计分层抽样下总体均值的方差。 |
三、分层抽样的步骤总结
1. 确定分层标准：选择合适的变量对总体进行分层，如性别、年龄、收入等。
2. 划分层次：将总体按照选定的标准分成若干个互不重叠的层。
3. 确定样本量：根据研究目的选择适当的样本量分配方式（比例分配或最优分配）。
4. 抽取样本：在每一层中独立抽取样本。
5. 计算结果：利用上述公式对样本数据进行分析，得出总体参数的估计值。
四、注意事项
- 分层应基于与研究目标相关的变量，以提高精度。
- 若某一层样本量过小，可能影响估计的稳定性。
- 在实际操作中，还需考虑调查成本和可行性。
通过以上公式和步骤，可以系统地进行分层抽样设计与数据分析。合理运用分层抽样方法，能够有效提升样本质量与研究结果的准确性。
