【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量分布特性的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望与方差公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、期望（Expected Value）
期望是一个随机变量在所有可能结果上的加权平均值，权重为各个结果出现的概率。
1. 离散型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_i) = p_i $，则其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的离散程度。
1. 方差的基本定义
对于随机变量 $ X $，其方差定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通过展开计算得到：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望与方差
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、期望与方差的性质
- 线性性：对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
- 方差的线性性质：
$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
$$
- 若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y), \quad \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
$$
五、总结
期望与方差是概率统计中不可或缺的工具，它们帮助我们理解随机变量的行为特征。无论是理论研究还是实际应用，掌握这些基本概念和公式都具有重要意义。通过合理运用这些公式，可以更准确地分析数据、预测结果并做出科学决策。
表格汇总：
| 概念 | 公式表达 |
| 期望（离散） | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $ |
| 期望（连续） | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx $ |
| 方差（定义） | $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] $ |
| 方差（简化） | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ |
| 方差（离散） | $ \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i $ |
| 方差（连续） | $ \text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx $ |
